主要成果
关于三维不可压缩Navier-Stokes方程具有有限能量光滑初值整体光滑解的存在性或局部光滑解在有限时间内爆破是美国Clay研究所公布的7大千禧年问题之一。该问题被认为是流体力学的数学理论方面最大的公开问题之一。我们主要应用调和分析作为工具研究了与此问题紧密相关不可压缩流体力学方程组:1.各向异性的Navier-Stokes方程的整体适定性,2. 非齐次不可压缩Navier-Stokes方程大密度的整体适定性,3.经典不可压缩Navier-Stokes方程的正则性准则,并取得了如下进展。
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我们首先用各向异性的Littlewood-Paley分析研究了3维不可压缩各向异性的Navier-Stokes方程组,相较于经典的Navier-Stokes方程,该方程仅有在水平方向上的粘性而无竖直方向上的粘性。在研究此问题的过程中,我们发现我们必须把div u=0看成一个传输方程而非经典的椭圆型方程,基于此观察,我们引进了全新的负指标的Sobolev-Besov 型的函数空间并证明了3维不可压缩各向异性的Navier-Stokes方程初值在此空间的范数充分小时的整体适定性,特别地,此结果揭示了该方程高频振荡初值的整体适定性。随后我们进一步证明了该方程初始速度的两个分量充分小时,该方程仍存在唯一的整体解.
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我们同时还将此观察应用于非齐次不可压缩Navier-Stokes方程某些大初值的整体适定性。特别地我们证明了只要初始密度充分靠近某一正常数且初始速度的两个分量充分小时,三维非齐次不可压缩Navier-Stokes方程在临界空间中存在唯一解。我们还证明了该方程对任意给定的初始密度,只要出示速度在临界空间中充分小时,该方程仍存在唯一整体解。
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最近,基于此观察以及三维Navier-Stokes方程涡度方程的结构,我们证明了三维Navier-Stokes方程解的一个分量在临界空间中的范数控制了该解的正则性。
中心成员2013年共计发表文章20篇.
2013年接待来访
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Chemin Jean-Yves,2013年1月20日-3月21日,他就“Weyl-Hormander calculus of Pseudo-differential operators”作了系列演讲;
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Dong Hongjie, 2013年5月26-6月8日,就抛物型方程的$L^p$估计作了系列演讲;
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Abidi Hammadi 2013年7月-8月;
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Vasseur Alexis 2013年9月11日-21日,就Nash-Moser迭代做了系列演讲.
培养学生
在读博士生4人,在读硕士生3人。