中科院数学与系统科学研究院

数学研究所

中科院华罗庚数学重点实验室

综合报告会

（Colloquium）

报告人：尤建功 教授（南京大学）

题  目： Hofstadter’s Butterfly and Dry Ten Martini Problem

时  间：06.10(星期三),16:00--17:00(15:30-16:00为茶点时间, 地点: 数学院南楼N920房间)

地  点：数学院南楼N202室

摘要:Almost Mathieu operators是位势为余弦函数的特殊薛定谔算子；它是量子霍尔效应和许多量子物理问题的数学模型。1976年，Hofstadter对不同的磁通量数值计算了Mathieu算子的谱，并在磁通量和能量平面上标出了谱点，图像看起来像一只有无穷多个翅膀的蝴蝶。Hofstadter蝴蝶由此得名。直到2013年，物理学家才从实验上验证了这只蝴蝶，这是量子物理领域的重要进展。Hofstadter蝴蝶的严格数学描述是Mathieu算子所有该打开的谱隙全部打开。上世纪八十年代，Caltech物理学家Kac提出了这个问题并(幽默地)为此悬赏10瓶马蒂尼酒。他的同事，数学物理学家Barry Simon把这个问题分成两步：先证明打开的谱隙足够多以致谱集是一个Cantor集；Simon把这个问题称为Ten Martini Problem。而更进一步的、Kac原始的关于所有谱隙都打开的问题被Simon称为Dry Ten Martini Problem。几十年来，这两个问题一直是相关数学物理和算子谱理论的中心问题之一。Ten Martini Problem最终被Avila和Jitomirskaya合作解决，这是Avila 2014年获得菲尔茨奖的主要工作之一。而Dry Ten Martini问题是一个更重要的问题，在物理上意味着没有简并态，物理学家称其为Ten Martini Conjecture。许多研究在假设它正确的前提下继续展开。

    我们对非临界情形完全解决了Dry Ten Martini问题，这是和Avila，周琪的合作工作。我们用的是动力系统方法，和以前解决Ten Martini Problem的方法完全不同。