课程编码:B0111004Y | 课时:80 | |
英文名称:Real Analysis | 学分:4.00 |
课程属性:专业基础课 | 预修课程:微积分 |
上课时间:星期一、三 第1、2节(8:00-9:40) | 上课地点:阶二2 [备用:国科大在线] |
主讲教师:郝成春(研究员) | 上课周次:1-19周 |
习题课教师:杨思奇 | 上课周次: |
期末考试: | |
教材:
[1] Stein & Shakarchi,Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, 世界图书出版公司,2013. (ISBN:978-7-5100-4053-5)[第1-4,6章] (或中译本: Stein & Shakarchi,《实分析》,叶培新等译,机械工业出版社,2019.(ISBN:978-7-111-55296-3))(注:2013年之前的印刷版本请对照勘误表,已发现的2013年后的勘误表见页末。)
[2] DiBenedetto, Real Analysis,Birkhauser Advanced Texts Basler Lehrbücher. Birkhauser, New York, NY, 2016. (ISBN: 978-1-4939-4005-9) [第6章(部分)] 电子版:https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4939-4005-9
教学参考书:
[3] 周民强,实变函数论(第3版),北京大学出版社,2016.(ISBN: 978-7-301-27647-1)
[4] 周民强,实变函数解题指南(第2版),北京大学出版社,2018. (ISBN:978-7-301-29415-4)
[5] Folland,Real Analysis:Modern Techniques and Their Applications, 第2版,世界图书出版公司,2019.(ISBN:978-7-5192-6072-9)
成绩构成比例:平时40%,期中30%,期末30%。
主要内容:
第1章 测度论
1.1 预备知识:熟练掌握一些常用记号、集合的运算、理解Cantor集的构造和基本性质。
1.2 外测度:熟练掌握外测度的定义、基本性质及其证明。
1.3 可测集与Lebesgue测度:熟练掌握Lebesgue可测集的基本性质、以及Borel集、Fσ集和Gδ集等概念;Lebesgue测度的连续性、平移及伸缩不变性;Lebesgue可测性的刻画;理解Vitali不可测集的构造和选择公理。
1.4可测函数:掌握定义与基本性质、用简单函数或阶梯函数逼近;掌握Littlewood三大原理(可测集逼近定理;Egorov定理;Lusin定理)、Riesz定理和欧氏空间中连续函数的Tietze延拓定理;初步了解可测函数列的几种收敛性(一致收敛、逐点收敛、几乎处处收敛、几乎/近一致收敛、依测度收敛等)的概念及其相互关系。
第2章 积分理论
2.1 Lebesgue积分的基本性质与收敛定理:掌握如何从简单函数出发定义Lebesgue 积分,熟练掌握积分的基本性质、可积函数的几个重要的收敛定理(包括有界收敛定理、Levi单调收敛定理、Lebesgue控制收敛定理、Fatou引理等);理解Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系。
2.2 可积函数空间L1: 理解线性空间、度量空间、范数、完备性、稠密性和可分性的定义及性质;掌握Riesz-Fischer定理及其证明,理解在L^1中稠密的几个函数类;了解积分的平移、伸缩及反射不变性。
2.3 Fubini定理及应用:熟练掌握Fubini定理和Tonelli定理的几个条件、乘积测度的基本性质;理解Fubini定理的证明思路。
2.4 Fourier反演公式:熟练掌握Riemann-Lebesgue引理和乘法公式;理解反演公式成立的条件。
第3章 微分与积分
3.1 积分的微分:掌握Hardy-Littlewood极大函数的定义及其基本性质和Lebesgue微分定理;理解Vitali覆盖定理;了解稠密点、Lebesgue集集簇的正则收缩等概念。
3.2 好核和恒同逼近:掌握好核的定义和恒同逼近定理,理解Lebesgue集的作用。
3.3 函数的可微性(1维):掌握有界变差函数和绝对连续函数的定义和性质及其相互关系、Jordan分解定理、旭日升引理和Dini导数;掌握微积分基本定理和分部积分公式成立的条件、积分中值公式;理解跳跃函数的可微性,并了解有界变差函数的奇异性和Lebesgue分解。
3.4 可求长曲线:了解可求长曲线的弧长参数化、Lipschitz函数和绝对连续函数等之间的关系和性质。
第4章 Hilbert空间的初等理论
4.1 L2空间:掌握L2空间的完备性和可分性。
4.2 Hilbert空间:掌握Hilbert空间的定义,及正交性、酉映射、准Hilbert空间的完备化等。
4.3 Fourier级数与Fatou定理:掌握Fourier系数的定义、Parseval等式和Fatou定理。
4.4 闭子空间与正交投影:掌握它们的定义和性质,以及与标准正交基相关的定理。
4.5 线性变换:掌握线性泛函和伴随算子及自伴的定义及其性质、Riesz表示定理、Lax-Milgram引理;了解算子的特征值和特征向量、Hilbert-Schmidt算子等。
4.6 紧算子:掌握紧算子的定义和基本性质、谱定理、Hilbert-Schmidt引理等。
第5章 抽象测度与积分理论
5.1 抽象测度空间:掌握测度空间、Carathéodory可测、外测度、度量外测度和Borel测度的定义及其基本性质;掌握Carathéodory定理、Borel测度的正则性定理和Carathéodory-Hahn延拓定理。
5.2 测度空间上的积分:理解测度空间上的积分是Lebesgue积分的推广,掌握相关性质和收敛定理的推广。
5.3 例子:掌握乘积测度和一般的Fubini定理、极坐标的积分公式;理解一维欧氏空间上的Borel测度和Lebesgue-Stieltjes积分。
5.4 测度的绝对连续性:掌握带号测度、全变差、相互奇异、绝对连续的定义和性质,以及Jordan分解定理和Lebesgue-Radon-Nikodym定理。
第6章 Lp空间
6.1 Lp中的函数和范数:掌握Young、H\"older和Minkowski不等式和当p∈[1,∞)时范数的刻画;理解等价类、范数拓扑及一致凸性的表述。
6.2 Lp中的收敛性、完备性及简单函数的稠密性:掌握相关定义和完备性的证明,与之前L1情形进行对比。
6.3 Lp中的弱收敛、范数收敛及多种收敛的关系:掌握各种收敛的定义并理解并总结它们之间的关系,了解相应的反例。
6.4 Lp范数的弱下半连续性:掌握定理的叙述和证明。
6.5 Lp中的线性泛函和Riesz表示定理:掌握线性泛函的定义以及Riesz表示定理的叙述和证明。
6.6 Lp(1<p<∞)的一致凸性:了解Hanner和Clarkson不等式和反向H\"older和Minkowski不等式,及由此得到的一致凸性;理解用一致凸性证明Riesz表示定理的思路。
6.7 E为欧氏空间中Lebesgue可测集时的Lp(E)的可分性、平移连续性、弱收敛子列的选取和C∞函数逼近:掌握可分性的证明、弱收敛子列的选取方法、范数平移连续性的证明;掌握$L^p$中的稠密函数类等。
主要教材[1]2013之后重印版勘误列表(仅供参考)
(Non-official) Errata for Stein & Shakarchi,Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, 2013 (for reference only)
ISBN:978-7-5100-4053-5(世图) or 0-691-11386-6(original version)
- Page 11, Line 4 below (2): rectangles $\to$ cubes
- P12, L6: both R and the complement of R (It may not be accurate, please understand it from the context.)
- P14, L2: choose disjoint cubes
- P14, L-6 ("-" means from bottom): disjoint closed cubes
- P14, L-1: delete the $\infty$ over two $\bigcup$
- P18, L3 in Proof(Pf) of Lem 3.1: a finite cover
- P22, L4: disjoint closed cubes
- P29, in Property 3: $\limsup\limits_{n\to\infty},f_n(x)$ $\to$ $\limsup\limits_{n\to\infty}f_n(x),$
- P53, L8: to be the closure of the set of all (for consistence with the standard definition)
- P53, L10: $supp(f)=\overline{\{x: f(x)\neq 0\}}$ (for consistence with the standard definition)
- P59, L9: positive $\to$ nonnegative
- P61, L-10: $\liminf\limits_{n\to\infty}f_n=\infty$ $\to$ $\liminf\limits_{n\to\infty}\int f_n=\infty$
- P63 L-4 : $2^k\epsilon \leqslant |x|<2^{k+1}\epsilon$
- P63, L-1: $1\leqslant |x|<2$
- P67, in Pf of Thm 1.13, L2: lemma $\to$ proposition
- P78, in step 3, (a), L4: add a "=" before the $\big\{$
- P79, L5: $\chi_{Q_k}$ $\to$ $\chi_{\tilde{Q}_k}$
- P79, L-8: $\mathcal{O}_0$ $\to$ $\tilde{\mathcal{O}}_0$
- P88, L1: Suppose $f\in L^1(\mathbb{R}^d)$ and ...
- P100, L-3: all open balls
- P101, L-7: an open ball
- P103, L-7: open ball
- P106, L-3: $\lim\limits_{m(B)\to 0 \atop \bar{x} \in B}$
- P108, L3 in Cor 1.7: $x$ $\to$ $\bar{x}$
- P109, L-10: $\mathbb{R}^d$ $\to$ $\mathbb{R}^d\setminus \{0\}$
- P110, L10: $|x|<\delta$ $\to$ $|x|\leq \delta$
- P117, L-3: $f$ $\to$ $F$
- P123, L-2: $\{D^+(F)(x)<\infty\}$ $\to $ $\{D^+(F)(x)=\infty\}$
- P124, L10: $G(x)=F(-x)+rx$
- P131, L-9: $f$ $\to$ $F$
- P132, L-1: $\sum\limits_{x\leqslant x_n\leqslant y}$
- P135, L-3: $t_j-1$ $\to $ $t_{j-1}$
- P149, Ex20 Hint, L1: $\chi_K(t)dt$
- P158, L2 below (1): $fg=0$ $\to $ $f\bar{g}=0$
- P168, L2: add "." at the end
- P172, L-7: $k=2|n|+1$ for $n<0$
- P188, L3: an $\to$ and
- P193, L1: $T_nf_n$ $\to$ $Tf_n$
- P193, L8, L17: non-empty $\to$ non-trivial
- P193, L15-L18: $S^\perp$ $\to $ $\mathcal{S}^\perp$
- P227, L2: delete one $\int_0^{2\pi}$
- P272, L11,17,-2: $\mu$ $\to$ $\mu_0$
- P272, L-4: $\mu(F)$ $\to$ $\nu(F)$
- P283, L-15: $(a,b]$ is a Borel ...
- P284, L8: "if" $\to$ "is"
- P315, L-3: $E_j\in\mathcal{M}_j$
- P331, L-1: delete $\beta$
- P332, L10: $z(t)$ $\to $ $\gamma(t)$
- P334, L2: "size" $\to$ "side length"
- P340, L9: $B^{j+1}$
- P340, L10: $\leqslant B|t-s|^\gamma$
- P345, L8: $\leqslant \delta$ (optional)
(Errata updated: Jun. 29, 2020)